# 糖水不等式入门与实用指南
这是一份面向新手的、可直接上手的糖水不等式说明书。它用生活场景解释分式比较与浓度变化，帮助你快速判断“加糖/加水后更甜还是更淡”，并能迁移到更多实际问题。
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## 一、核心结论（单杯糖水）
设定： 有一杯糖水，糖为 b 克，总量为 a 克（浓度为 b/a），再加入糖 c 克（c > 0）。
结论：
- 如果 b/a < 1（即不是纯糖），那么 (b + c)/(a + c) > b/a，糖水变甜
- 如果 b/a = 1（纯糖），浓度不变
- 如果 b/a > 1（不合常理），糖水反而变淡
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## 二、两杯混合糖水
设两杯糖水浓度分别为 b1/a1 和 b2/a2，混合后浓度为 (b1 + b2)/(a1 + a2)
结论：
混合后的浓度一定介于两者之间
即：min(b1/a1, b2/a2) ≤ (b1 + b2)/(a1 + a2) ≤ max(b1/a1, b2/a2)
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## 三、为什么成立
直觉解释：
加糖等于提高糖占比，只要原来不是纯糖，新增的糖会让整体更甜。
代数验证：
比较 (b + c)/(a + c) 与 b/a
交叉相乘得：
(b + c) × a 与 b × (a + c) 比较
化简后得到：
ca 与 bc 比较
即：a 与 b 比较
所以当 b/a < 1 时，糖水变甜。
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## 四、如何应用
1. 明确对象：是加糖、加水，还是混合？
2. 判断类型：
- 加糖：分子分母都加同一个正数
- 加水：只加分母
- 混合：分子分母分别相加
3. 选择规则：
- 加糖：若原浓度 < 1，则新浓度变大
- 加水：浓度一定变小
- 混合：新浓度介于两者之间
4. 写出结论：根据规则直接判断或交叉相乘验证
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## 五、实战示例
示例1：单杯加糖
糖 20 克，总量 200 克，加入糖 20 克
原浓度：20/200 = 0.1
新浓度：40/220 ≈ 0.1818
结论：变甜
示例2：加水
糖 20 克，总量 200 克，加入水 100 克
新浓度：20/300 ≈ 0.0667
结论：变淡
示例3：两杯混合
A 杯浓度 10/100 = 0.1，B 杯浓度 30/150 = 0.2
混合后浓度：40/250 = 0.16
结论：介于 0.1 与 0.2 之间，更靠近 B 杯
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## 六、常见变体与易错点
- 分子分母加的不是同一个数：不能直接用糖水不等式，要交叉相乘比较
- 加的是糖水而不是纯糖：应使用“两杯混合”规则
- 忘记正数条件：默认 a > 0，b ≥ 0，c > 0
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## 七、练习题
1. 已知 b/a = 1/5，加入糖 c > 0，比较新旧浓度
答：新浓度更大
2. 已知 b/a = 1/4，加入水 c > 0，比较新旧浓度
答：新浓度更小
3. A 杯浓度 1/10，B 杯浓度 1/4，混合后浓度范围？
答：在 0.1 到 0.25 之间
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## 八、小结
- 单杯加糖：分子分母同加同正数 → 分数变大
- 单杯加水：分母增大 → 分数变小
- 两杯混合：新浓度介于两者之间，靠近量更大的那杯
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